4325 亿亿种局面，
最短的路不超过 20 步。

4325 亿亿种局面，来自一次简单的清点

魔方由 8 个角块、12 个棱块和 6 个中心块组成。六个中心块彼此的相对位置永远不变，它们定义了颜色的方向；一个局面，完全由角块和棱块的位置与朝向决定。

• 8 个角块可以有 8! 种排列；每个角块有 3 个朝向，但最后一个角块的朝向被前 7 个决定，所以是 3⁷。
• 12 个棱块可以有 12! 种排列；每个棱块有 2 个朝向，最后一个同样被前面的决定，所以是 2¹¹。
• 角块的排列与棱块的排列不能各自独立地改变奇偶，因此总数还要再除以 2。

8! × 3⁷ × 12! × 2¹¹ ÷ 2 = 43,252,003,274,489,856,000

四千三百二十五亿亿，约 4.33 × 10¹⁹。换一个尺度：如果从宇宙诞生的那一刻起，每秒钟试一个局面，到今天也只试过其中约百分之一。

记住这个数字本身没有意义。它说明的是另一件事：任何依靠“多试几次”的办法都还原不了魔方。能还原它的，只有结构。

每个局面是一个点，每次转动是一条边

把每一个局面看成一个点，把每一次转动看成连接两点的一条边，魔方就变成了一张图。数学上它有个名字：凯莱图（Cayley graph）——群的元素当顶点，生成元当边。

• 顶点：43,252,003,274,489,856,000 个局面。
• 边：从任何一个局面出发，都有 18 条边通向 18 个邻居。六个面，每个面可以顺时针 90°、逆时针 90° 或转 180°。
• 还原：不是“把红色对齐红色”，而是在这张图上，从你所在的点走到那个叫做“六面同色”的点。

这张图有一个关键性质：顶点传递。从任何一个顶点看出去，整张图长得完全一样。所以一个局面难不难，跟它“看起来有多乱”无关，只跟一件事有关——它到终点的距离。

上面那张图不是这张凯莱图（凯莱图画不下），而是同一个局面的另一种看法：54 张贴纸同时摊在一个圆盘上。转动一次，你能看见哪些点在动、沿着什么轨道动。

上帝之数：这张图的直径是 20

一张图的直径，是所有点对之间最短路径的最大值。2010 年，Tomas Rokicki、Herbert Kociemba、Morley Davidson 和 John Dethridge 证明了：这张图的直径是 20。

这句话的意思很强：无论魔方被打得多乱，从它到还原态，总存在一条不超过 20 步的路。没有任何局面需要 21 步。

• 这里的“一步”指转动某一个面 90° 或 180°，半圈算一步（面转动度量）。如果规定半圈算两步，答案是 26，这个结论在 2014 年被证明。
• 证明的办法不是逐个检查 4.3 × 10¹⁹ 个局面。他们把所有局面按一个子群的陪集分组，利用魔方自身的 48 种对称把需要逐一处理的组压缩到约 5,600 万组，再用 Google 捐赠的约 35 个 CPU 年的闲置算力跑完。
• 统计上，绝大多数局面的最短解在 17 到 18 步之间；恰好需要 20 步的局面极其少见。

值得说清楚的是：知道“存在一条不超过 20 步的路”，和“找到那条路”是两件事。前者已经被证明，后者对每一个具体局面仍然需要搜索。

计算机不从白色十字开始

人类的层先法是一条容易记住的路线，不是最短的路线。计算机走的是另一条路，最常见的是 Kociemba 的两阶段算法。

它先定义一个子群 G₁ = ⟨U, D, L², R², F², B²⟩：在这个子群里，左右前后四个面只允许转 180°。落在 G₁ 里的局面有 19,508,428,800 个，大约 195 亿。

1. 第一阶段：不管颜色排得好不好看，只把局面带进 G₁——把所有块的朝向摆正，把中层的四个棱块送回中层。这一阶段真正需要搜索的空间只有 2,217,093,120 种，约 22 亿，是全部局面的两百亿分之一。
2. 第二阶段：在 G₁ 内部，用那 10 种受限的转动走到终点。

两阶段算法通常在几毫秒内给出 20 步上下的解。但要注意：它给的是很短的解，不保证是最短的解；证明某个局面的最优解需要更强的搜索。

这对正在学魔方的人意味着什么

不是让你去背 20 步。恰恰相反：

• 层先法通常要 50 到 100 步。它比理论最优长得多，因为它用步数换记忆量——把一个 4.3 × 10¹⁹ 的问题，拆成人脑装得下的六个阶段。
• 公式不是咒语，是一段“只改变局部、其它地方原样归位”的路径。知道它为什么能保留已完成的部分，比多背一条公式有用。
• 卡住的时候，问题几乎从来不是“手不够快”，而是当前局面根本不满足那条公式的前提。

从“记住动作”走到“看懂结构”，是这个网站想帮你走的那一段。

这张图是怎么画出来的

图不是装饰，它和左边的魔方是同一个东西。

54 个点就是 54 张贴纸的位置，点的颜色是此刻贴在那里的那张贴纸的颜色。站在你正对着的那个角往外看：贴着这个角的三个面（上、右、前）收在里圈，背面的三个面（下、左、后）摊在外圈，六簇每隔 60° 排成一轮，六个面因此同时可见。

转动一个面，20 张贴纸沿五个四循环换位。图上每一条圆弧，恰好是其中一个四循环的轨道：那四个点严格落在同一个圆上，转动时它们就沿这个圆挨个往前滑一格。这 30 个圆是先定下来、再把 54 个点解出来的——正方形的九宫格做不到全部共圆，所以每簇被轻轻错切了一点点，换来的是每条弧都当真。共圆的误差是千分之一像素，只来自坐标写进文件时的四舍五入。

按下 R，属于 R 的那五个圆会亮起来，只有 R 层的 20 个点会动；中心的 6 个点永远不动，因为中心块不会离开自己的位置，这也正是“颜色方向由中心块定义”的原因。

页面里的求解器

“任何局面都有一条不超过 20 步的路”是被证明的事实，但对每一个具体局面，那条路仍然要找。这个页面内置了一个两阶段求解器，在浏览器里独立运行，不上传任何数据。

它不会自己演示。图示进入视野时只做三件事：在后台预热求解器、把三维魔方取过来、让魔方慢慢自转。打乱和求解都等你按下按钮。

1. 按「打乱」：魔方走 20 步随机转动，每步约 210 毫秒，然后停下。
2. 按「求解」：求解器在几十毫秒内找到一条 20 步上下的路——然后停在那里，一步都不走。它给的是很短的路，不保证是最短的路。
3. 这一停是留给你想的。路径条把解法按求解器给出的分界拆成两段：前一段把局面送进 G₁，后一段只用 U、D 和四个 180°。魔方上下一步要转的那一层会描出橙边，状态图上那一层的五条圆同时提亮——只是预告，54 个点一个都不动。解法默认只露出下一步，走一步露一步；想一次看完，按「看解法」。
4. 然后由你决定怎么走完：「走一步」一步一步来，每步约 430 毫秒；「退一步」撤回去再想一遍，计划原样保留；「一次走完」把剩下的连着播完，随时可以暂停、继续。

你也可以不按计划走。展开「自己转一步」，随便转一下，求解器会从新的局面重新规划，并写明你转了什么、新的路有多少步。它从不把这当成错误——自己动手正是这张图想要的。求解器给出的路径，和你打乱的顺序没有关系：转几步，再看它选了另一条路回家。

第一次用到求解器时，它在后台生成本文提到的那几张表：朝向与中层的转动表、剪枝表，大约一两秒；这段时间读数会说它正在准备。

颜色和转动的判定，与练习区那个 3D 魔方使用同一套模型，并与一份独立的魔方状态模型逐张贴纸交叉核对过；求解器给出的每条路，都在同一套模型上回放确认。